Как приготовить формулу Стирлинга

Мы все любим кошек. Многие даже умеют их готовить. Если у нас есть пятьдесят кошек и пятьдесят кастрюль, то факториал будет равен пятидесяти.

Все мы знаем, что такое факториал. Мы знаем, что где разместить первого кота, будет 50 вариантов, а у второго уже 49, значит, количество вариантов, рассчитанных на второго кота, будет 50 * 49 = 2450. К моменту, когда мы придем на последний кот, все числа от 50 до 2 уже будут умножены. А у нас будет последняя печка, куда мы запихнем последнего кота.

Et tandis que les poêles ne sont pas allumés, vous pouvez réfléchir un peu, tout à coup certains des autres arrangements 30414093201713378043612608166064768844377641568960511999999999999999999999 seraient meilleurs.

Умножение столько раз, сколько сам аргумент, и каждый раз на другое число, может быть утомительным. И уж точно дольше по сравнению с простым возведением в степень. В справочниках есть загадочная формула Стирлинга, которая помогает посчитать количество вариантов только с помощью этого признака — не с полной точностью, а в степени возведения в степень.

Расскажу, как при отсутствии справочника можно приготовить формулу Стриллинга в домашних условиях.

Для этого нам понадобятся две вещи:

Разложение логарифма.

Особая связь двух переменных.

$\frac{1+x}{1-x}=\frac{n+1}{n+0}$

Которое можно получить из обычного равенства:

$х=\фракция{1}{2n+1}$

Сначала применяем логарифм к соотношению и сворачиваем все в одну строку.

$\ln(1+n^{-1})=\ln(1+x)-\ln(1-x)$

Затем применяем разложение.

$\ln(1+n^{-1})=\sum_{k=1}^\infty-\frac{(-x)^k}{k}+\sum_{k=1}^\infty\frac {х^к} {к}$

Важно разделять нечетные и четные элементы.

$\ln(1+n^{-1})={\small\sum_{k=0}^\infty-\frac{(-x)^{2k+1}}{2k+1}+\sum_{ k=0}^\infty-\frac{(-x)^{2k+2}}{2k+2}+\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+2}}{ 2k+2}+\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{2k+1}}$

Несколько сумм в центре растворятся, а оставшаяся пара, наоборот, увеличится.

$\ln(1+n^{-1})=2\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

Выньте осторожно количество.

$\ln(1+n^{-1})=2x\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{2k+1}$

И мы заменяем его на .

$\ln(1+n^{-1})=\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\sum_{k=0}^\infty\frac{(2n+1)^{- 2к}}{2к+1}$

Переносим коэффициент влево и убираем добавленный логарифм в самом начале, используя показатель степени.

$(1+n^{-1})^{n+\frac{1}{2}}=\exp\sum_{k=0}^\infty\frac{(2n+1)^{-2k}}{ 2к+1}$

Теперь вы должны удалить опцию так же осторожно, как и переместите его влево.

ЧИТАТЬ Лось пришел в челябинский детский сад

$\ frac {\ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ {n + \ frac {1} {2}}} {e} = \ exp \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {(2n+1)^{-2k}}{2k+1}$

А теперь очень необычная операция: перемножаем сразу все варианты аргумента .

$\ prod_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ {n + \ frac {1} {2}}} {e} = \ exp \ sum_ {n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac{(2n+1)^{-2k}}{2k+1}$

Запихиваем все это в калькулятор и ждем появления числа $\Пи$ .

$\ prod_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ {n + \ frac {1} {2}}} {e} = \ frac {e }{\sqrt{2\pi}}$

Вынув его из калькулятора, ждем, пока остынет верхняя граница и справа появится коэффициент дивергенции.

$\ prod_ {n = 1} ^ k \ frac {\ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ {n + \ frac {1} {2}}} {e} = c_k \ frac {e }{\sqrt{2\pi}}$

Теперь по рецепту нужно открыть работу через все элементы.

$\ гидроразрыва {\ влево (\ гидроразрыва {2} {1} \ справа) ^ {1+ \ гидроразрыва {1} {2}}} {е} \ cdot \ гидроразрыва {\ влево (\ гидроразрыва {3} {2} \right)^{2+\frac{1}{2}}}{e}\cdot\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{3+\frac{1}{2 }}}{e}\cdot\frac{\left(\frac{5}{4}\right)^{4+\frac{1}{2}}}{e}\cdot\ldots\cdot\frac {\ left (\ frac {k + 1} {k} \ right) ^ {k + \ frac {1} {2}}} {e} = c_k \ frac {e} {\ sqrt {2 \ pi}}$

Здесь видно, что для каждой пары соседних множителей числитель левой дроби и знаменатель правой дроби совпадают, а значит, их можно было бы полностью сократить, если бы степени не различались. А так как они отличаются на единицу, то от каждой дроби остается знаменатель, и поэтому в общем знаменателе появляется факториал.

$\frac{(k+1)^{k+1/2}}{k! \;\; e^k}=c_k\frac{e}{\sqrt{2\pi}}$