После 10 лет стажа работы по специальности, после окончания института возник самый первый случай, когда нужно было вспомнить преобразование Фурье из курса специальных разделов математического анализа.
Допустим, у нас есть сигнал с очень шумной высокочастотной составляющей. Для более подробной информации, пусть это будет график зависимости естественного освещения от времени. Вот такой пример:
В данном случае представляет интерес самая низкочастотная составляющая этого сигнала. Тот, у которого 24-часовой период. Необходимо определить амплитуду и фазу самой первой гармоники. Этот сигнал измеряется реальными физическими датчиками и записывается в текстовый файл *.csv.
1986, 1412.500, 17.75, 10:11:39, 13/7/2023, 1517844955
1987, 1410.833, 17.75, 10:11:59, 13/7/2023, 1517844975
1988, 1410.833, 17.75, 10:12:19, 13/7/2023, 1517844995
1989, 1410.000, 17.75, 10:12:39, 13/7/2023, 1517845015
1990, 1413.333, 17.75, 10:12:59, 13/7/2023, 1517845035
1991, 1415.833, 17.75, 10:13:19, 13/7/2023, 1517845055
1992, 1420.833, 17.75, 10:13:39, 13/7/2023, 1517845075
1993, 1424.167, 17.75, 10:13:59, 13/7/2023, 1517845095
...Ось X — это 6-й столбец, ось Y — это 2-й столбец. В данном случае речь идет о выделении фазы этого сигнала.
Как выделить фазу зашумленного сигнала?
Ясно, что необходимо каким-то образом обобщить этот сигнал. Пропустите его через фильтр нижних частот.
Если мы пропустим сигнал через цифровой фильтр скользящего среднего (FIR-фильтр), выходной сигнал сдвинется по фазе вправо, и фактическая фаза будет искажена. Нам нужен другой путь.
Из высшей математики известно, что любую периодическую и кусочно-непрерывную функцию можно представить в виде суммы синусов разных амплитуд и разных фаз по формуле (1)
В этой реализации временная сложность DFT составляет O (N ^ 2), где N — количество элементов в выборке сигнала.
Вот спектр этого сигнала. Вот период в часах.
Модуль комплексного числа будет амплитудой синуса, аргумент комплексного числа будет фазой синуса. Далее просто подставляем эти числа в формулу (1) и получаем результат фильтрации.
Вот некоторые разложения в ряды Фурье до первой гармоники. Как видите, фаза определилась достаточно надежно.
Кстати, ряды Фурье — отличный вариант для сжатия периодических данных. Вместо огромного файла журнала периодических сигналов вы просто храните массив из нескольких пар действительных коэффициентов для амплитуды и фазы этой конкретной гармоники ряда Фурье. Причем по этим коэффициентам функция примерно восстанавливается до нужной вам степени точности. Однако есть потеря качества исходного сигнала. Другими словами, ряды Фурье можно использовать для сжатия экспериментальных данных.
Преимущества фильтра нижних частот перед преобразованием Фурье
— Если мы вычисляем ДПФ, сбрасываем высокие частоты и вычисляем обратное ДПФ, то фазы тех низкочастотных гармоник, которые мы оставили позади, не меняются.
–Фильтр на основе преобразования Фурье, пригодный для постобработки
Недостатки фильтра нижних частот на преобразовании Фурье
–Трудно представить, как такой фильтр работает в реальном времени. В конце концов, вам нужно много вычислений O(n^2). В идеале вы хотите рассчитать преобразование Фурье для последних N циклов, устранить высокочастотные гармоники и вычислить обратное преобразование Фурье. Это все еще O(n) шагов. И все это должно происходить в одном цикле. Но это запредельное количество вычислений по сравнению с тем же КИХ-фильтром.
–Необходимо знать самую низкую частоту заранее. Результирующая формула ряда Фурье будет отображать сигнал с периодом, равным размеру выборки, умноженному на период выборки.
–Преобразование Фурье не подходит для непериодических сигналов.
Заключение
Из преобразования Фурье можно создать фильтр нижних частот. Преобразование Фурье отлично подходит не только для нахождения частот в сигнале, но и для нахождения фаз этих частот.
Теория рядов Фурье идеальна для постобработки периодического сигнала, если вам нужно выделить определенные отдельные частоты в этом сигнале.
Словарь
|
Акроним |
Расшифровка |
|
РПИ |
конечная импульсная характеристика |
|
ДПФ |
Дискретное преобразование Фурье |
Соединения
http://www.mathprofi.ru/ryady_furie_primery_reshenij.html
https://www.youtube.com/watch?v=i7dPkwKHFr0
http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php
https://code911.top/howto/how-to-run-python-script-from-chttps://pyneng.readthedocs.io/ru/latest/book/05_basic_scripts/args.html
https://ezgif.com/maker
https://habr.com/ru/articles/269991/
https://habr.com/ru/articles/196374/
https://habr.com/ru/articles/324152/
